تبلیغات
ریاضی - فهم مسواله
 
ریاضی
درباره وبلاگ



مدیر وبلاگ : r b
نویسندگان
نظرسنجی
از کدام بخش خوشتان امد؟











پنجشنبه 25 فروردین 1390 :: نویسنده : r b

فهم مسأله

ابتدا باید صورت مسأله را دقیق و مو شکافانه خواند. معلوم‌ها و مجهولهای مسأله را روشن کرد. هدف سوال را متوجه شد. هدف از حل کردن این سوال چیست؟ بهترین راه و کوتاهترین راهها کدام است؟ باید صورت مساله را به گونه ای خواند که بتوان بدون در اختیار داشتم صورت مساله روی آن فکر کرد. بهتر است مجهول مشخص شده را همیشه در نظر داشت و تمام راههای ممکن را مورد بررسی قرار داد. مجهول همان عضو گم شده پیکره سوال است. ارتباط مجهول با معلوم‌ها را باید مشخص کرد و راه ارتباطی موجود را ، در صورت امکان حدس زد. در بعضی مسائل این کشف خیلی مشکل ، و دیر به ثمر می‌رسد. اما نباید امید خود را از دست داد بلکه باید تا آنجا که ممکن است روی مسأله کار کرد. برای یافتن این راه ارتباطی ، باید به صورت مکرر دیدگاه و روش نگریستن خود را به آن مسأله ، عوض کنیم. باید وضع خود را مکرر تغییر دهیم.

هنگامی که کار را آغاز می‌کنیم، طرز تصور ما نسبت به مسأله احتمالا کامل نیست، آنگاه که در راه حل مسأله اندکی پیش رفتیم، نگرش دیگری پیدا خواهیم کرد، و آن زمان که تقریبا به حل مسأله نزدیک شده‌ایم، باز هم طرز دید تازه‌ای خواهیم داشت. پاسخ دادن به سوالی که هنوز درک نشده است، کاری عبث است و میل نداشتن به فهم مسأله هم خطر آفرین است و باید سعی شود این مرحله وجود نداشته باشد. تا اینجا کار مجهول و معلوم مشخص شد و صورت مسأله درک شد.

طرح نقشه

مسلما همه ما برای انجام یک کار خاص ، همیشه مسیری را مد نظر داریم و سعی در طی آن داریم مثل یک ساختمان که ابتدا نقشه می‌خواهد و پس از رسم نقشه ، کارهای اجرایی شروع می‌شود. کاری موفق است که دارای نقشه‌ای مفید و جالب باشد و فرد طراح ، فکر تمام جوانب را کرده باشد و احتیاجات یک ساختمان را شناخته باشد. برای حل مسأله هم می‌توان چنین کرد. این اعمال برای ذهن ما غریب نیست. بلکه اکثر ما این اعمال را انجام می‌دهیم ولی از این نظم ذاتی غافلیم.

هنگامی دارای یک نقشه و برنامه برای حل یک مسأله‌ایم که ، لااقل به صورت کلی ، بدانیم که برای بدست آوردن معمولا لازم است به محاسباتی بپردازیم و چه شکلهایی را ترسیم کنیم. راه میان فهم مسأله و طرح نقشه ممکن است دراز و پر زحمت باشد. در حقیقت کار عمده برای حل یک مسأله دست یافتن به تصور اندیشه‌ای درباره نقشه و برنامه حل مسأله است. این اندیشه ممکن است تدریجی حاصل شود. یا ، پس از آزمایشهای ظاهرا بی نتیجه و دوره‌ای از تردید ، ناگهان به صورت برقی که می‌جهد، همچون یک اندیشه روشن به ذهن حل کننده مسأله برسد. پرسشهای بیشتر ، در صورتی که به خوبی فهمیده و در نظر گرفته شود، بیشتر اوقات به آغاز شدن رشته افکار و اندیشه‌های مربوط به حل مسأله کمک می‌کند. ولی همیشه نمی‌تواند چنین باشد، مسأله حل نشود، باید در صدد یافتن نقاط تماس دیگر برآییم و جنبه‌های مختلف مسأله را اکتشاف کنیم، لازم است مسأله را تغییر دهیم و شکل بیان آن را به صورت دیگر در آوریم.

بعد از رسیدن به راه حلی برای جواب بهتر است قبل از هر کاری ، سعی کنیم راه مد نظرمان را با طوری مختصر ، به صورت ذهنی و یا دستی آزمایش کنیم، تا به صحبت یا سقم راه حل خود پی ببریم. این کار موجب می‌شود تا بتوان خطاهای موجود در راه حلها و ذهن را جستجو کرد و به نتیجه‌ای معقول رسید. در بعضی مسائل می‌توان ترسیمی هندسی از مسأله داشت، یعنی با توجه به صورت مسأله ، شکلی برای خود رسم کرد که این شکل ممکن است فقط برای فرد ترسیم کننده قابل فهم باشد نه کس دیگر ، این قبیل شکلها می‌توانند هندسی باشند یا نمودارهای گوناگونی باشند. و با شکلی بدون نظم و قانون باشند، ولی برای فرد رسم کننده فوق العاده مؤثر می‌باشند. نکته حائز اهمیت آن است که این شکل بتواند در حل مسأله کمک کند و راهی را به مقصد برساند. گاهی اوقات می‌توان مسأله را به مسائل کوچکتر خرد کرد و با حل مسائل کوچکتر به حل مسأله اصلی دست یافت که نباید از نقش این مسائل کمکی کوچک غافل شد.

باید در مسائل به شرطها ، قیدها و شرایط موجود توجه کرد و از آنها نیز غافل نشد. در طرح نقشه باید به انواع مسائل توجه داشته باشیم. زیرا مسائل از نظر حل کردن و به جواب رسیدن باهم متمایزند. انواع مسائل (از نظر نویسنده) عبارتند از: 1- حل کردنی ، 2- اثباتی ، 3- استقرایی ، 4- استدلالی.

در مسائل حل کردنی عملیات محاسباتی ، نقش اول را بازی می‌کنند و از نقش آنها نباید غافل شد. در مسائل اثباتی ، آنچه حائز اهمیت است گزاره‌های درست می‌باشند که برهان مسأله بسازند و اثبات را درست بیان کنند. در مسائل استقرائی ، اصول استقراء حاکم است و از حالتی خاص به حالت کل می‌رسید و در مسائل استدلالی نیاز به منطق داریم و قوانین درست یا نادرست باید تشخیص داده شوند. با شناخت اجمالی مسائل می‌توان نقشه‌ای برای حل رسم کرد و راهی که به مقصد می‌رسد را تا اندکی معلوم نمود. اما بعد از طرح نقشه مسلما اجرا از جایگاه خاصی برخوردار است و باید به فکر اجرا هم بود.

اجرای نقشه

طرح نقشه و تصور اندیشه حل مسأله آسان نیست. برای آنکه به نتیجه برسد فرصت لازم است. شناخت به دست آمده قبلی و عادتهای ذهنی خوب و متمرکز ساختن فکر روی هدف ، و از همه اینها گذشته یک چیز دیگر یعنی یاری کردن بخت و اقبال در کار است. اجرای نقشه آسانتر است. آنچه به آن نیاز داریم به صورت عمده حوصله و شکیبایی است. نقشه طرحی کلی به دست می‌دهد، باید خود را متقاعد سازیم که جزئیات طرح کلی سازگار است و بنابراین باید جزئیات را یکی پس از دیگری با حوصله مورد آزمایش قرار دهیم تا اینکه هر چیز به صورت کامل روشن شود و گوشه تاریکی که ممکن است خطایی در آن پهناور شده باشد باقی نماند. اما بعد از اجرای نقشه بهتر است به عقب برگردیم و ببینیم چه کردیم؟

به عقب نگاه کردن

حتی افراد حاذق ، آن هنگام که جواب مسأله را یافته و رشته برهان را به وضوح نوشته باشند، اگر نگاهی به آن نکرده باشند و به عقب برنگردند، حل مسأله ارزشی ندارد. به عقب نگریستن باعث می‌شود ایرادهای سطحی و جزئی مشخص شوند. البته از این طریق فهم مجدد و عمیق‌تری از مسأله حاصل می‌شود. در اغلب موارد با این برگشتها می‌توان راههای جدید و بهتری را ادامه داد، و راه حلی تمیز و مرتب و دارای نظم و قاعده را بیان کرد. پس بهتر است بعد از حل کردن کلی به یک مسأله به پشت سر هم نگاهی بیفکنیم که از کجا آغاز کردیم و به کجا رسیدیم.


 
تاریخ : پنجشنبه 25 فروردین 1390

سلام خدمت تمامی ریاضی دوستان

نمی دونم سئوالات من آسون بود و شما به خاطر اسون بودنش جواب ندادین. یا چی بگم به هر حال حل جوابها در قسمت پائین آورده شده امیدوارم که بتونم کمکی کرده باشم.

با تشکر مدیر وبلاگ

 

۱- حاصل ضرب این ضرب را می توان اینطور نوشت:

 

BBB = B × 111 = B ×3 ×37

 

چون 37 عددی اول است بنابراین یکی از دو عامل ضرب (AB یا CD) می تواند 37 یا 74 باشد در اینصورت عامل دیگر به ترتیب برابر B ×3 یا (B × 3 ) ÷ 2 خواهد شد. در حالت دوم B باید رقمی زوج باشد. و چون داریم      (B × 3 ) ÷ 2 > 10

 بنابراین تنها B = 8 ممکن است. ولی جوابی که از این راه بدست می آید: 74  × 12 = 888 با یکی از شرط های مسئله نمی سازد (باید هر رقم حاصل ضرب برابر رقم یکان یکی از دو عامل ضرب باشد) در نتیجه یکی از دو عامل ضرب تنها 37 می تواند باشد اگر عامل اول ضرب را 37 بگیریم حاصل ضرب باید 777 شود که در این صورت عامل دوم ضرب برابر 21 می شود. ولی اگر عامل دوم ضرب را 37 فرض کنیم باید داشته باشیم

 

10 A + B = 3B Þ 5A = B

 

که از آنجا A = 1 و B = 5 بدست می آید. به این ترتیب برای مساله دو جواب پیدا می شود:

 

37 × 21 = 777

15 × 37 = 555

 

2- فرض می کنیم که (n+1) امین جمله تصاعد اول با (m+1) امین جمله تصاعد دوم برابر باشد. (n+1) امین جمله تصاعد اول برابر است با 2 + 5n و (m+1) امین جمله تصاعد دوم برابر است با 2 + 3m و بنابراین فرض باید داشته باشیم:

2 + 5n = 2 + 3m Þ n = 3m/5

 

اگر m برابر با 5  , 10 , 15 و غیره باشد  برای n به ترتیب عددهای 3 , 6 , 9 و ... بدست می آید. از آنجا می بینیم که جمله های برابر عبارتند از هر سه جمله یکبار در تصاعد اول و هر پنج جمله یکبار در تصاعد دوم. بنابراین تعداد جمله های مساوی در 60 جمله تصاعدها برابر است با 60 ÷ 5 = 12  

 

3-  دو راه حل برای این مساله داریم . شما هم می توانید راه حل های دیگری پیدا کنید:

 

(2 × 2 × 2) – (2 ÷ 2) = 7

(22 ÷ 2) – 22  = 7

 

4- از راه حل های ممکن چند تا را در اینجا آورده ایم:

97524 ÷ 10836 = 9

95823 ÷ 10647 = 9

95742 ÷ 10638 = 9

0 × 12345678 + 9 = 9

123456790  + 8 = 9



 
تاریخ : پنجشنبه 25 فروردین 1390

اگر عددی غیرمنفی را به توان -1 برسانیم، حاصل برابر معکوس آن عدد است.

a−1 = 1/a

در نتیجه:

an = (an)−1 = 1/an

اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است. توان منفی را می‌توان به صورت تقسیم مکرر پایه هم نشان داد. یعنی 3−5 = 1 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 1/243 = 1/35.

خواص

مهمترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:

a^{m + n} = a^m \cdot a^n

که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:

a^{m - n} = \begin{matrix}\frac{a^m}{a^n}\end{matrix}

(a^m)^n = a^{mn} \!\,

از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت جابجایی دارند (برای مثال 2+3 = 5 = 3+2 و 2×3 = 6 = 3×2) توان دارای خاصیت جابجایی نیست: 23 = 8 است در حالی که 32 = 9. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت انجمنی هستند (برای مثال (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) و (2×3)×4 = 24 = 2×(3×4)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 23 به توان چهار برابر است با 84 یا 4096، در حالی که 2 به توان 34 برابر است با 281 یا 2,417,851,639,229,258,349,412,352

توان‌های ده

در سیستم مبنای ده، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 106 برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن 6 صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در علم فیزیک برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت نماد علمی کاربرد دارد؛ برای مثال 299792458 (سرعت نور با یکای مترمکعب بر ثانیه) را می‌توان به صورت 2.99792458 × 108 نوشت و به صورت تخمینی به شکل 2.998 × 108. پیشوندهای سیستم متریک هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان 10 استوار است. برای مثال پیشوند کیلو یعنی 103 = 1000، پس یک کیلومتر برابر 1000 متر است

توان‌های عدد دو

توان‌های عدد دو نقش بسیار مهمی در علم رایانه دارند زیر در کامپیوتر مقادیر 2n را می‌توان برای یک متغیر n بیتی درنظر گرفت.

توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول نصف و ربع می‌گویند.

توان‌های عدد صفر

اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است: 0n = 0.

اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت 0n تعریف نشده‌است، زیرا تقسیم بر صفر وجود ندارد.

اگر توان صفر عدد یک باشد، حاصل عبارت برابر یک است: 00 = 1.

(بعضی از نویسندگان می‌گویند که 00 تعریف نشده‌است.)

توان‌های منفی یک

توان منفی یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.

اگر نمای منفی یک فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: (−1)2n+1 = −1

اگر نمای منفی یک زوج باشد، حاصل آن برابر یک است: (−1)2n+2 = 1

توان‌های اعداد حقیقی مثبت

به توان رساندن عددی حقیقی مثبت به توان یک عدد غیرصحیح را می‌توان به چند صورت به دست آورد:

  • عددی کسری تعریف کنیم و ریشه nام را به دست بیاوریم. این روشی است که در مدرسه‌ها از آن استفاده می‌کنند.
  • لگاریتم طبیعی تعریف کنیم و سطح زیر نمودار 1/x را به دست بیاوریم.

در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن بدست می‌آید. اگر \ a عدد حقیقی مثبت و n عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:

\ x^n = a

و ریشه nام a نامیده می‌شود:

x=a^{\frac{1}{n}}

برای مثال: 81/3 = 2. حالا می‌توانیم توان m / n را به صورت زیر تعریف کنیم:

a^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m

برای مثال: 82/3 = 4.                      







نوع مطلب :
برچسب ها :


آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :